Question

【題目】在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角是直二面角．動點的斜邊上．

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦的最大值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）由題意得出平面平面，由旋轉的性質得出，由平面與平面垂直的性質定理得出平面，再利用平面與平面垂直的判定定理得出平面平面；

（2）計算出，由（1）可知，平面，于是得出直線與平面所成的角為，可得出，得知當時，最小，由此可求出直線與平面所成角的正弦的最大值.

（1）為直角三角形，且斜邊為，.

將以直線為軸旋轉得到，則，即.

二面角是直二面角，即平面平面.

又平面平面，平面，平面.

平面，因此，平面平面；

（2）在中，，斜邊，且.

由（1）知，平面，所以，直線與平面所成的角為.

在中，，，，

，

當時，取最小值，此時取最大值，且.

因此，，

即直線與平面所成角的正弦的最大值為.