Question

3．已知拋物線C：y²=6x的焦點(diǎn)為F，B為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，A為直線BF與C的一個交點(diǎn)，若$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{FA}$，則點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)B（-$\frac{3}{2}$，m），A（s，t），運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，解方程可得A的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的距離公式計算即可得到所求值．

解答 解：y²=6x的焦點(diǎn)為F（$\frac{3}{2}$，0），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{3}{2}$，
設(shè)B（-$\frac{3}{2}$，m），A（s，t），由$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{FA}$，可得-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$=3（s-$\frac{3}{2}$），
解得s=$\frac{1}{2}$，t=±$\sqrt{3}$，
即有|OA|=$\sqrt{\frac{1}{4}+3}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用，考查拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，以及向量共線的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．