Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{{2-{a_n}}}（n∈{N^*}）$
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）利用遞推式依次計(jì)算a₂，a₃，a₄；
（2）先驗(yàn)證n=1猜想是否成立，假設(shè)n=k猜想成立，利用遞推式得出a_k+1，判斷是否符合猜想即可．

解答 解：（1）a₂=$\frac{1}{2-{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{1}{2-{a}_{2}}$=$\frac{3}{4}$，a₄=$\frac{1}{2-{a}_{3}}$=$\frac{4}{5}$．
（2）猜想：a_n=$\frac{n}{n+1}$（n∈N^*），
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{2}$滿(mǎn)足a_n=$\frac{n}{n+1}$，猜想成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即a_k=$\frac{k}{k+1}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=$\frac{1}{2-{a}_{k}}$=$\frac{1}{2-\frac{k}{k+1}}$=$\frac{k+1}{k+2}$=$\frac{k+1}{（k+1）+1}$．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．
由①②可知，對(duì)任意的n∈N^*，都有a_n=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明，需掌握數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟，屬于中檔題．