Question

4．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）＞0，f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且2f（x）＜xf'（x）＜3f（x）對x∈（0，+∞）恒成立，則$\frac{f（2）}{f（3）}$的取值范圍是（$\frac{8}{27}$，$\frac{4}{9}$）．

Answer 1

分析 分別構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，x∈（0，+∞），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），
g′（x）=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴f（x）＞0，
0＜$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∴g′（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（2）＜g（3），即$\frac{f（2）}{4}$＜$\frac{f（3）}{9}$，
∴$\frac{f（2）}{f（3）}$＜$\frac{4}{9}$①，
令h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，x∈（0，+∞），
h′（x）=$\frac{xf′（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$，
∵?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴h′（x）=$\frac{xf′（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$＜0，
∴函數(shù)h（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴h（2）＞g（3），即$\frac{f（2）}{8}$＞$\frac{f（3）}{27}$，
∴$\frac{f（2）}{f（3）}$＞$\frac{8}{27}$②，
∴綜合①②：$\frac{8}{27}＜\frac{f（2）}{f（3）}＜\frac{4}{9}$，
故答案為：（$\frac{8}{27}$，$\frac{4}{9}$）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、構(gòu)造函數(shù)法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．