【題目】如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A=D1D= ，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：A1O∥平面AB1C；
（Ⅱ）求銳二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．

【答案】（Ⅰ）證明：如圖，連接CO，AC，

則四邊形ABCO為正方形，

∴OC=AB=A1B1，且OC∥AB∥A1B1

∴四邊形A1B1CO為平行四邊形，

∴A1O∥B1C，

又∵A1O平面AB1C，B1C平面AB1C，

∴A1O∥平面AB1C．…

（Ⅱ）∵D1A=D1D，O為AD的中點(diǎn)，

∴D1O⊥AD，又側(cè)面ADD1A1⊥底面ABCD，

∴D1O⊥底面ABCD，…

以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OD，OD1所在直線分別為x軸，y軸，Z軸，

建立如圖所示的坐標(biāo)系，

由題意得：C（1，0，0），D（0，1，0），

D1（0，0，1），A（0，﹣1，0），…

∴ ， =（0，﹣1，1），

=（0，﹣1，﹣1）， =（1，﹣1，0），

設(shè) 為平面CDD1C1的一個(gè)法向量，

則 ，∴ ，

令Z=1，則y=1，x=1，∴ ，…

設(shè) 為平面AC1D1的一個(gè)法向量，

則 ，∴ ，令Z1=1，

則y1=﹣1，x1=﹣1，∴ ，

∴ ，

∴所求銳二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值為 ．…


【解析】（1）連接CO，AC易證為平行四邊形，由此可證∥平面;（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OD，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求出銳二面角。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為 （其中t為參數(shù)）．現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ．
（Ⅰ） 寫出直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ） 過(guò)點(diǎn)M（﹣1，0）且與直線l平行的直線l1交C于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了響應(yīng)教育部頒布的《關(guān)于推進(jìn)中小學(xué)生研學(xué)旅行的意見(jiàn)》，某校計(jì)劃開(kāi)設(shè)八門研學(xué)旅行課程，并對(duì)全校學(xué)生的選擇意向進(jìn)行調(diào)查（調(diào)查要求全員參與，每個(gè)學(xué)生必須從八門課程中選出唯一一門課程）．本次調(diào)查結(jié)果整理成條形圖如下．圖中，已知課程A，B，C，D，E為人文類課程，課程F，G，H為自然科學(xué)類課程．為進(jìn)一步研究學(xué)生選課意向，結(jié)合圖表，采取分層抽樣方法從全校抽取1%的學(xué)生作為研究樣本組（以下簡(jiǎn)稱“組M”）．
（Ⅰ）在“組M”中，選擇人文類課程和自然科學(xué)類課程的人數(shù)各有多少？
（Ⅱ）為參加某地舉辦的自然科學(xué)營(yíng)活動(dòng)，從“組M”所有選擇自然科學(xué)類課程的同學(xué)中隨機(jī)抽取4名同學(xué)前往，其中選擇課程F或課程H的同學(xué)參加本次活動(dòng)，費(fèi)用為每人1500元，選擇課程G的同學(xué)參加，費(fèi)用為每人2000元．
（�。┰O(shè)隨機(jī)變量X表示選出的4名同學(xué)中選擇課程G的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列；
（ⅱ）設(shè)隨機(jī)變量Y表示選出的4名同學(xué)參加科學(xué)營(yíng)的費(fèi)用總和，求隨機(jī)變量Y的期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖1，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，將△BCD沿對(duì)角線BD折起到△B'CD的位置，使平面BC'D⊥平面ABD，E是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)A⊥平面ABD，且FA=2 ，如圖2．
（1）求證：FA∥平面BC'D；
（2）求平面ABD與平面FBC'所成角的余弦值；
（3）在線段AD上是否存在一點(diǎn)M，使得C'M⊥平面FBC？若存在，求 的值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中， ，AB=AC=AA1=1，已知G和E分別為A1B1和CC1的中點(diǎn)，D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若GD⊥EF，則線段DF的長(zhǎng)度的取值范圍為（ ）
A.[ ，1）
B.[ ，1]
C.（ ，1）
D.[ ，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面與圓O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求證：平面DAF⊥平面CBF；
（Ⅱ）求直線AB與平面CBF所成角的大�。�
（Ⅲ）當(dāng)AD的長(zhǎng)為何值時(shí)，平面DFC與平面FCB所成的銳二面角的大小為60°？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) (m,n∈R)在x=1處取得極值2.
（1）求f(x)的解析式；
（2）k為何值時(shí)，方程f(x)-k=0只有1個(gè)根
（3）設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2ax+a，若對(duì)于任意x1∈R，總存在x2∈[-1,0]，使得g(x2)≤f(x1)，求a的取值范圍

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在銳角△ABC中， =
（1）求角A；
（2）若a= ，求bc的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax2（a∈R）．
（1）若g（x）= 有三個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2 ， x，求a的取值范圍；
（2）若f（x）≥﹣ax3+1對(duì)任意x∈[0，1]都恒成立的a的最大值為μ，證明：5 ．

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