已知定義域為的函數(shù)同時滿足以下三個條件:
(1) 對任意的,總有;(2);(3) 若,,且,則有成立,則稱為“友誼函數(shù)”,請解答下列各題:
(1)若已知為“友誼函數(shù)”,求的值;
(2)函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”?并給出理由.
(3)已知為“友誼函數(shù)”,假定存在,使得且, 求證:.
(1)(2)是友誼函數(shù)(3)見解析.
【解析】
試題分析:(1)利用賦值法由得,再由得,所以(2)分別驗證(1)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在區(qū)間上的最小值為0,(2)直接帶入驗證易得(3)利用做差法直接比較 (3) 先利用單調(diào)性的定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性,然后再證明
取得, 又由,
得
(2)顯然在上滿足(1) ;(2).(3)若,,且,則有
故滿足條件(1)、(2)、(3),所以為友誼函數(shù).
(3)由 (3)知任給其中,且有,不妨設
所以:.
下面證明:(i)若,則有或
若,則,這與矛盾;
(2)若,則,這與矛盾;
綜上所述:
考點:函數(shù)的概念與性質(zhì).
科目:高中數(shù)學 來源:2016屆廣東省汕頭市高一下學期期末考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
將個正整數(shù)、、、 、()任意排成行列的數(shù)表.對于某一個數(shù)表,計算各行和各列中的任意兩個數(shù)、()的比值,稱這些比值中的最小值為這個數(shù)表的“特征值”.當時,數(shù)表的所有可能的“特征值”最大值為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2016屆廣東省高一下學期第二次階段考數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
直線與圓的位置關系是( 。
A.相離 B.相交 C.相切 D.不確定
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科目:高中數(shù)學 來源:2016屆廣東省高一下學期第一次階段考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
無論m為何值,直線:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0恒過一定點P,則點P的坐標為 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2016屆廣東省高一下學期第一次階段考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
圓錐的表面積是底面積的倍,那么該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2016屆廣東省揭陽一中高一下學期期中學業(yè)水平測試數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
求過點P(,且被圓C:截得的弦長等于8的直線方程。
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科目:高中數(shù)學 來源:2016屆廣東省廣州市越秀區(qū)高一下學期期末水平調(diào)研數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
已知,則______________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2016屆廣東省高一下學期期中數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
關于平面向量a,b,c,有下列三個命題:
①若a·b=a·c,則b=c;②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,則k=-3;③非零向量a和b滿足|a|=|b|=|a-b|,則a與a+b的夾角為60°.其中真命題的序號為________.(寫出所有真命題的序號)
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