15.已知f(x)=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin(2x+$\frac{π}{4}$)+2,求:
(1)f(x)的最小正周期及對稱軸方程;
(2)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)若方程f(x)-m+1=0在x∈[0,$\frac{π}{2}$]上有解,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)由條件利用正弦函數(shù)的最小正周期、正弦函數(shù)的圖象的對稱性,得出結(jié)論.
(2)求出y=sin(2x+$\frac{π}{4}$)的減區(qū)間,即為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論.
(3)由題意可得函數(shù)f(x)的圖象和直線y=m-1在x∈[0,$\frac{π}{2}$]上有交點,根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求出f(x)的值域,可得m的范圍.

解答 解:(1)由于f(x)=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin(2x+$\frac{π}{4}$)+2,它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π,
令2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$,求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$,k∈Z,故函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$,k∈Z.
(2)令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,求得 kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$,可得函數(shù)f(x)的增區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{8}$,kπ+$\frac{5π}{8}$],k∈Z.
(3)若方程f(x)-m+1=0在x∈[0,$\frac{π}{2}$]上有解,則函數(shù)f(x)的圖象和直線y=m-1在x∈[0,$\frac{π}{2}$]上有交點.
∵x∈[0,$\frac{π}{2}$],∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$,$\frac{5π}{4}$],sin(2x+$\frac{π}{4}$)∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,1],f(x)∈[2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{5}{2}$],
故m-1∈[2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{5}{2}$],∴m∈[3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{7}{2}$].

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的最小正周期、正弦函數(shù)的圖象的對稱性、單調(diào)性,正弦函數(shù)的定義域和值域,屬于中檔題.

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