Question

3．已知雙曲線E₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與拋物線E₂：y²=2px的焦點都在直線l₀：2x-y-4=0上，雙曲線E₁的漸近線方程為x$±\sqrt{3}$y=0．
（1）求雙曲線E₁與拋物線E₂的方程；
（2）若直線l₁經(jīng)過拋物線E₂的焦點F交拋物線E₁于A，B兩點，$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，求直線l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）確定焦點坐標，可得拋物線的方程，結(jié)合雙曲線E₁的漸近線方程為x$±\sqrt{3}$y=0，可得雙曲線的方程；
（2）設出直線AB的方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，求出A，B的橫坐標，由$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$得到x₁=3x₂+2，代入A，B的坐標得答案．

解答 解：（1）令y=0，可得x=2，∴焦點為（2，0），
∴$\frac{p}{2}$=2，c=2，
∴拋物線E₂的方程為y²=8x，
∵雙曲線E₁的漸近線方程為x$±\sqrt{3}$y=0，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵a²+b²=4，
∴a=$\sqrt{3}$，b=1，
∴求雙曲線E₁的方程是$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1；
（2）設AB所在直線方程為y=k（x-2），
聯(lián)立拋物線方程，得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
解方程得：x₁=$\frac{2{k}^{2}+4+4\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}}$，x₂=$\frac{2{k}^{2}+4-4\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}}$．
再由$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，得x₁+1=3（x₂+1），即x₁=3x₂+2，
∴$\frac{2{k}^{2}+4+4\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}}$=3•$\frac{2{k}^{2}+4-4\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}}$+2，
解得：k=±$\frac{\sqrt{20+8\sqrt{13}}}{3}$．
∴直線L的方程為y=$\frac{\sqrt{20+8\sqrt{13}}}{3}$（x-2）或y=-$\frac{\sqrt{20+8\sqrt{13}}}{3}$（x-2）．

點評 本題考查了雙曲線、拋物線的方程與幾何性質(zhì)，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了學生的計算能力，是中檔題．