Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+11}{x+1}$（x∈N^*），且[f（x）]_min=3，則實(shí)數(shù)a的取值集合是[-$\frac{8}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+11}{x+1}$（x∈N^*），且[f（x）]_min=3，可得x²+ax+11≥3x+3恒成立，分離參數(shù)可得a≥-$\frac{8}{x}$-x+3恒成立，求出右邊的最小值，即可求出實(shí)數(shù)a的取值集合．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+11}{x+1}$（x∈N^*），且[f（x）]_min=3，
∴x²+ax+11≥3x+3恒成立，
∴ax≥-x²-8+3x，又x∈N^*，
∴a≥-$\frac{8}{x}$-x+3恒成立，
再令h（x）=x+$\frac{8}{x}$（x∈N^*），
∵h(yuǎn)（x）=x+$\frac{8}{x}$在（0，2$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞減，在[2$\sqrt{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，而x∈N^*，
∴h（x）在x取距離2$\sqrt{2}$較近的整數(shù)值時(shí)達(dá)到最小，而距離2$\sqrt{2}$較近的整數(shù)為2和3，
∵h(yuǎn)（2）=6，h（3）=$\frac{17}{3}$，h（2）＞h（3），
∴當(dāng)x∈N^*時(shí)，h（x）_min=$\frac{17}{3}$．
∴a≥-$\frac{8}{3}$．
故答案為：[-$\frac{8}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的最小值，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵．