7.如圖,已知拋物線C:x2=2py(0<p<4),其上一點(diǎn)M(4,y0)到其焦點(diǎn)F的距離為5,過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A,B左、右兩點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$,求直線l的方程.

分析 (Ⅰ)利用點(diǎn)在曲線上,以及拋物線的定義,列出方程求解即可.
(Ⅱ)利用方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),通過(guò)韋達(dá)定理x1+x2,x1x2,利用$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$,求解即可.

解答 解(Ⅰ)由題意,$\left\{\begin{array}{l}16=2p{y_0}\\ \frac{p}{2}+{y_0}=5\end{array}\right.$,解得p=2或p=8,由題意0<p<4,所以p=2,y0=4.
所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y.(5分)
(Ⅱ)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)(0,1)直線l的方程的方程為:y=kx+1,
解方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$,消去y,得x2-4kx-4=0,
顯然△=16k2+16>0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k①,x1x2=-4②
又$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$,所以$(-{x_1},1-{y_1})=\frac{1}{2}({x_2},{y_2}-1)$,即x2=-2x1
由①②③消去x1,x2,得${k^2}=\frac{1}{8}$,由題意,$k=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
故直線l的方程為$y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}x+1$.(7分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程的求法,仔細(xì)與拋物線的綜合應(yīng)用,考查計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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