Question

3．已知命題p：“方程x²+mx+1=0恰好有兩個(gè)不相等的負(fù)根”；
命題q：“不等式3^x-m+1≤0存在實(shí)數(shù)解”．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 求出命題p、q為真命題時(shí)m的取值范圍，再根據(jù)p∨q為真命題，p∧q為假命題時(shí)p、q一真一假，從而求出m的取值范圍．

解答 解：命題p：“方程x²+mx+1=0恰好有兩個(gè)不相等的負(fù)根”為真命題時(shí)，
$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}＜0}\\{{{x}_{1}x}_{2}＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-4＞0}\\{-m＜0}\end{array}\right.$，解得m＞2；
命題q：“不等式3^x-m+1≤0存在實(shí)數(shù)解”為真命題時(shí)，
3^x≤m-1，即m-1＞0，解得m＞1；
若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p、q一真一假，
當(dāng)p真q假時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≤1}\end{array}\right.$，m的值不存在；
當(dāng)p假q真時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{m＞1}\end{array}\right.$1＜m≤2；
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（1，2]．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)合命題的真假性問題，是綜合性題目．