Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax²+$\frac{2}{x}$，其中a為實數(shù)．
（1）根據(jù)a的不同取值，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若a∈（1，3），判斷函數(shù)f（x）在[1，2]上的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

分析 （1）通過討論a的范圍，判斷函數(shù)的奇偶性問題；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=$\frac{1}{x}$，顯然是奇函數(shù)；
當(dāng)a≠0時，f（1）=a+1，f（-1）=a-1，f（1）≠f（-1）且f（1）+f（-1）≠0，
所以此時f（x）是非奇非偶函數(shù)．
（2）設(shè)?x₁＜x₂∈[1，2]，
則f（x₁）-f（x₂）=a（x₁-x₂）（x₁+x₂）+$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）-$\frac{2}{{{x}_{1}x}_{2}}$]，
因為x₁，x₂∈[1，2]，所以x₁-x₂＜0，2＜x₁+x₂＜4，1＜x₁x₂＜4，
所以2＜a（x₁+x₂）＜12，$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜1，$\frac{1}{2}$＜$\frac{2}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜2，
所以a（x₁+x₂）-$\frac{2}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性問題，是一道中檔題．