Question

19．下列函數(shù)中，與函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{3}$的奇偶性、單調(diào)性都相同的是（　�。�

• A． f（x）=x^-1
• B． f（x）=x²
• C． f（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$
• D． f（x）=x³

Answer 1

分析 推導(dǎo)出函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{3}$是奇函數(shù)，又是增函數(shù)．在A 中，f（x）=x^-1減區(qū)間是（-∞，0），（0，+∞）；在B中，f（x）=x²是偶函數(shù)，減區(qū)間是（-∞，0），增區(qū)間是（0，+∞）；在C中，$f（x）={x}^{\frac{1}{2}}$是非奇非偶函數(shù)；在D中，f（x）=x³是奇函數(shù)，又是增函數(shù)．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{3}$，
∴f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-{e}^{x}}{3}$=-f（x），
∴函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{3}$是奇函數(shù)，x∈R，
在R上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{e}^{{x}_{1}}-{e}^{-{x}_{1}}}{3}$-$\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{-{x}_{2}}}{3}$=$\frac{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}^{2}}）（{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+1）}{3{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，
∵x₁＜x₂，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{3}$是單調(diào)遞增函數(shù)，
在A 中，f（x）=x^-1是奇函數(shù)，減區(qū)間是（-∞，0），（0，+∞），故A錯(cuò)誤；
在B中，f（x）=x²是偶函數(shù)，減區(qū)間是（-∞，0），增區(qū)間是（0，+∞），故B錯(cuò)誤；
在C中，$f（x）={x}^{\frac{1}{2}}$是非奇非偶函數(shù)，是增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
在D中，f（x）=x³是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的合理運(yùn)用．