Question

7．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上一點(diǎn)M（-3，4）關(guān)于一條漸進(jìn)線的對(duì)稱點(diǎn)恰為右焦點(diǎn)f₂，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{20}$=1．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)以及點(diǎn)的對(duì)稱中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程y=-$\frac{a}$x，右焦點(diǎn)F₂的坐標(biāo)為（c，0），
∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上一點(diǎn)M（-3，4）關(guān)于一條漸進(jìn)線的對(duì)稱點(diǎn)恰為右焦點(diǎn)F₂，
∴$\frac{0-4}{c+3}$•（-$\frac{a}$）=-1，①
∵AF₂的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{c-3}{2}$，2），
∴2=-$\frac{a}$•$\frac{c-3}{2}$，②，
∵a²+b²=c²，③，
由①②③解得a²=5，b²=20，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{20}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)和定義，以點(diǎn)的對(duì)稱問題，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題