【題目】已知?jiǎng)又本垂直于軸,與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)在直線上,.

1)求點(diǎn)的軌跡的方程;

2)直線與橢圓相交于,與曲線相切于點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),求的取值范圍.

【答案】(1) ;(2)

【解析】

1)設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)對(duì)稱性得到點(diǎn)坐標(biāo),利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn),求得兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程,化簡(jiǎn)求得點(diǎn)的軌跡方程.

2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí),根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求得.當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)出直線的方程,代入方程,利用判別式為零列出關(guān)系.將代入方程,化簡(jiǎn)后寫出韋達(dá)定理,計(jì)算出的表達(dá)式,并利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì),求得的取值范圍.

1)設(shè),則由題知,

,,

在橢圓上,得,所以,

故點(diǎn)的軌跡的方程為;

2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),的左(或右)頂點(diǎn),也是的左(或右)焦點(diǎn),所以;

當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,

,,

,所以

,

,,

所以,當(dāng)時(shí),即時(shí),取最大值,當(dāng)時(shí),即時(shí),取最小值;綜上:的取值范圍為.

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3)已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列(至少有4項(xiàng))為“K數(shù)列”,數(shù)列不是“K數(shù)列”,若,是否存在,使為“K數(shù)列”?若存在,請(qǐng)求出,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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1)求方案一中養(yǎng)殖區(qū)的面積;

2)求方案二中養(yǎng)殖區(qū)的最大面積(用表示);

3)為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大,應(yīng)選擇何種方案?并說(shuō)明理由.

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