Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax-1．
（Ⅰ）當a=2時，求曲線y=f（x）在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=e^x（x+1）-ax²-（a+1）x-1，當x≥0時，h（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到所求切線的方程；
（Ⅱ）當x≥0時，h（x）≥0，即為（x+1）（e^x-ax-1）≥0，則e^x-ax-1≥0對x≥0恒成立，構(gòu)造g（x）=e^x-ax-1，求得導數(shù)，對a討論，分當a≤1時，當a＞1時，運用單調(diào)性，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=2時，函數(shù)f（x）=e^x-2x-1的導數(shù)為f′（x）=e^x-2，
可得切線的斜率為1-2=-1，切點為（0，0），
即有曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為y=-x；
（Ⅱ）當x≥0時，h（x）≥0，即為
（x+1）（e^x-ax-1）≥0，
則e^x-ax-1≥0對x≥0恒成立，
由g（x）=e^x-ax-1的導數(shù)為g′（x）=e^x-a，
由x≥0時，e^x≥1，
當a≤1時，g′（x）≥0，g（x）在x≥0遞增，可得g（x）≥g（0）=0，
即有e^x-ax-1≥0對x≥0恒成立；
當a＞1時，g（x）不為單調(diào)函數(shù)，則e^x-ax-1≥0對x≥0不恒成立．
綜上可得，a的范圍是（-∞，1]．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，運用單調(diào)性，屬于中檔題．