Question

5．已知函數f（x）=x+ax^-1（a＞0）．
（Ⅰ）若f（1）=2且f（m）=5．求m²+m^-2的值．
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（1）=2，得f（x）=x+x^-1，從而f（m）=m+m^-1=5，由此能求出m²+m^-2．
（Ⅱ）由已知得當x∈（1，+∞）時，${f}^{'}（x）=1-\frac{a}{{x}^{2}}$＞0恒成立，由此能求出實數a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=x+ax^-1（a＞0），f（1）=2且f（m）=5．
∴1+a=2，解得a=1，∴f（x）=x+x^-1，
∴f（m）=m+m^-1=5，
∴m²+m^-2=（m+m^-1）²-2=25-2=23．
（Ⅱ）∵f（x）=x+ax^-1（a＞0）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，
∴當x∈（1，+∞）時，${f}^{'}（x）=1-\frac{a}{{x}^{2}}$≥0恒成立，
∴0＜a≤1．
∴實數a的取值范圍是（0，1]．

點評 本題考查代數式的取值范圍的求法，考查實數的取值范圍的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．