Question

3．已知函數(shù)f（x）=（2x-1）e^x，g（x）=ax-a（a∈R）．
（1）若y=g（x）為曲線y=f（x）的一條切線，求實數(shù)a的值；
（2）已知a＜1，若關(guān)于x的不等式f（x）＜g（x）的整數(shù)解只有一個x₀，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點，可得切線的斜率和切線的方程，代入（1，0），解方程可得切線的橫坐標(biāo)，進而得到a的值；
（2）令F（x）=e^x（2x-1）-ax+a，x∈R，求出導(dǎo)數(shù)，對a討論，分①當(dāng)0≤a＜1時，②當(dāng)a＜0時，判斷F（x）的單調(diào)性，由不等式即可解得a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為R，
f'（x）=e^x（2x+1），
設(shè)切點$（{x_0}，\;\;{e^{x_0}}（2{x_0}-1））$，
則切線的斜率$f'（{x_0}）={e^{x_0}}（2{x_0}+1）$，
∴切線為：$y-{e^{x_0}}（2{x_0}-1）={e^{x_0}}（2{x_0}+1）（x-{x_0}）$，
∵y=g（x）恒過點（1，0），斜率為a，且為y=f（x）的一條切線，
∴$0-{e^{x_0}}（2{x_0}-1）={e^{x_0}}（2{x_0}+1）（1-{x_0}）$，
∴${x_0}=0或\frac{3}{2}$，由$a={e^{x_0}}（2{x_0}+1）$，得a=1或$a=4{e^{\frac{3}{2}}}$；
（2）令F（x）=e^x（2x-1）-ax+a，x∈R，F(xiàn)'（x）=e^x（2x+1）-a，
當(dāng)x≥0時，∵e^x≥1，2x+1≥1，∴e^x（2x+1）≥1，
又a＜1，∴F'（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上遞增，
∵F（0）=-1+a＜0，F(xiàn)（1）=e＞0，則存在唯一的整數(shù)x₀=0使得F（x₀）＜0，
即f（x₀）＜g（x₀）；
當(dāng)x＜0時，為滿足題意，F(xiàn)（x）在（-∞，0）上不存在整數(shù)使F（x）＜0，
即F（x）在（-∞，-1]上不存在整數(shù)使F（x）＜0，
∵x≤-1，∴e^x（2x+1）＜0，
①當(dāng)0≤a＜1時，F(xiàn)'（x）＜0，∴F（x）在（-∞，-1]上遞減，
∴當(dāng)x≤-1時，$F（x）≥F（-1）=-\frac{3}{e}+2a≥0$，得$a≥\frac{3}{2e}$，
∴$\frac{3}{2e}≤a＜1$；
②當(dāng)a＜0時，$F（-1）=-\frac{3}{e}+2a＜0$，不符合題意．
綜上所述，$\frac{3}{2e}≤a＜1$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和方程，以及單調(diào)區(qū)間，考查單調(diào)性的運用，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．