7．如圖，已知△ABC的三條高是AD，BE，CF，用向量方法證明：AD，BE，CF相交于一點．

分析 設(shè)AD，BE相交于一點H，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{h}$，通過向量的數(shù)量積證明$\overrightarrow{CH}⊥\overrightarrow{BA}$，得到結(jié)果．

解答 解：設(shè)AD，BE相交于一點H，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{h}$，
則$\overrightarrow{BH}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{h}$，$\overrightarrow{AH}$=$\overrightarrow{h}-\overrightarrow$，
∵$\overrightarrow{BH}$⊥$\overrightarrow{AC}$，∴$\overrightarrow{BH}$•$\overrightarrow{AC}$=0，∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{h}）•\overrightarrow=0$，…①
同理，$（\overrightarrow{h}-\overrightarrow）•\overrightarrow{a}=0$…②，
①+②，$\overrightarrow{h}•\overrightarrow+\overrightarrow{h}•\overrightarrow{a}=0$，∴$\overrightarrow{CH}⊥\overrightarrow{BA}$，
△ABC的三條高是AD，BE，CF相交于一點．

點評 本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的運(yùn)算，考查邏輯推理能力計算能力．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

20．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，且點E為棱AB上任意一個動點．當(dāng)點B1到平面A1EC的距離為$\frac{{\sqrt{21}}}{6}$時，點E所有可能的位置有幾個2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

1．已知函數(shù)f（x）和g（x）是兩個定義在區(qū)間M上的函數(shù)，若對任意的x∈M，存在常數(shù)x0∈M，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），則稱函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間M上是“相似函數(shù)”，若f（x）=|log2（x-1）|+b與g（x）=x3-3x2+8在[$\frac{5}{4}$，3]上是“相似函數(shù)”，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{5}{4}$，3]上的最大值為（　�。�
A．4B．5C．6D．$\frac{9}{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，a1+a2+…+an-1=an-1（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若數(shù)列{an}滿足logabn=an（a＞1），求證：$\frac{a}{{a}^{2}-1}$≤$\frac{_{1}}{_{2}-1}$+$\frac{_{2}}{_{3}-1}$+…+$\frac{_{n-1}}{_{n}-1}$$＜\frac{1}{a-1}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．如圖，折線AOB為一條客機(jī)的飛機(jī)航線，其中OA、OB夾角為$\frac{2π}{3}$，若一架客機(jī)沿A-O-B方向飛行至距離O點90km處的C點時，發(fā)現(xiàn)航線轉(zhuǎn)折點O處開始產(chǎn)生一個圓形區(qū)域的高壓氣旋，高壓氣旋范圍內(nèi)的區(qū)域為危險區(qū)域（含邊界），為了保證飛行安全，客機(jī)航線需臨時調(diào)整為CD，若CD與OA的夾角為θ，D在OB上，已知客機(jī)的飛行速度為15km/min．
（1）當(dāng)飛機(jī)在臨時航線上飛行t分鐘至點E時，試用t和θ表示飛機(jī)到O點的距離OE；
（2）當(dāng)飛機(jī)在臨時航線上飛行t分鐘時，高壓氣旋半徑r=3t$\sqrt{t}$km，且半徑增大到81km時不再繼續(xù)增大，若CD與OA的夾角θ=$\frac{π}{4}$，試計算飛機(jī)在臨時航線CD上是否能安全飛行．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1過其右焦點F的直線l與橢圓相交于A、B兩點，若點P為（4，0），設(shè)$\overrightarrow{FA}=λ\overrightarrow{FB}$，λ∈[-2，-1]，求|$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$|取最大值時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

19．如圖所示的是一多面體的三視圖（尺寸如圖所示，單位：cm），則它的表面積是（　�。�
A．（6+3$\sqrt{3}$）cm2B．（12+3$\sqrt{3}$）cm2C．15cm2D．9cm2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

16．已知點F（1，0），點P為平面上的動點，過點P作直線l：x=-1的垂線，垂足為H，且$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HF}$=$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FH}$．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)點P的軌跡C與x軸交于點M，點A，B是軌跡C上異于點M的不同D的兩點，且滿足$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，在A，B處分別作軌跡C的切線交于點N，求點N的軌跡E的方程；
（3）在（2）的條件下，求證：kMN•kAB為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點（1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．過橢圓右頂點A的兩條斜率乘積為-$\frac{1}{4}$的直線分別交橢圓C于M，N兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線MN是否過定點D？若過定點D，求出點D的坐標(biāo)；若不過，請說明理由．

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