Question

1．已知函數(shù)f（x）和g（x）是兩個定義在區(qū)間M上的函數(shù)，若對任意的x∈M，存在常數(shù)x₀∈M，使得f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀），且f（x₀）=g（x₀），則稱函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間M上是“相似函數(shù)”，若f（x）=|log₂（x-1）|+b與g（x）=x³-3x²+8在[$\frac{5}{4}$，3]上是“相似函數(shù)”，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{5}{4}$，3]上的最大值為（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）的值域，再由導(dǎo)數(shù)求得g（x）的值域，根據(jù)新定義，可得b=4，即可得到所求的最大值．

解答 解：f（x）=|log₂（x-1）|+b在區(qū)間[$\frac{5}{4}$，3]上的值域為[b，b+2]，
g（x）=x³-3x²+8的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=3x²-6x，g′（x）=0解得x=2，
由g（2）=4，g（$\frac{5}{4}$）=$\frac{337}{64}$，g（3）=8，即有g(shù)（x）的值域為[4，8]，
由“相似函數(shù)”可得f（2）=g（2），即b=4，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{5}{4}$，3]上的最大值為b+2=6，
故選：C．

點評 本題考查新定義的理解和運用，主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的運用：求最值，屬于中檔題．