Question

給出下列四個(gè)命題，其中真命題為

 

．
①“?x₀∈R，使得x₀²+1＞3x₀”的否定是“?x∈R，都有x²+1≤3x”；
②“m=-2”是“直線(xiàn)（m+2）x+my+1=0與直線(xiàn)（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分條件；
③設(shè)圓x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)，分別為A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，y₁），D（0，y₂），則x₁x₂-y₁y₂=0；
④函數(shù)f（x）=sinx-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè)．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：直接寫(xiě)出特稱(chēng)命題的否定判斷①；
由m=-2得到直線(xiàn)（m+2）x+my+1=0與直線(xiàn)（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直，由此得到命題②錯(cuò)誤；
分別取y=0和x=0，由根與系數(shù)關(guān)系求得x₁x₂，y₁y₂，由差的結(jié)果判斷③；
利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)f（x）=sinx-x在(0，

π

2

)上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性分析函數(shù)f（x）=sinx-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答： 解：對(duì)于①，“?x₀∈R，使得x₀²+1＞3x₀”為特稱(chēng)命題，其否定是全稱(chēng)命題“?x∈R，都有x²+1≤3x”，命題①正確；
對(duì)于②，m=-2時(shí)，直線(xiàn)（m+2）x+my+1=0化為y=

1

2

，直線(xiàn)（m-2）x+（m+2）y-3=0化為x=-

3

4

，
∴“m=-2”是“直線(xiàn)（m+2）x+my+1=0與直線(xiàn)（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充分條件，命題②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，當(dāng)y=0時(shí)，圓x²+y²+Dx+Ey+F=0化為x²+Dx+F=0，x₁x₂=F．
當(dāng)x=0時(shí)，圓x²+y²+Dx+Ey+F=0化為y²+Ey+F=0，y₁y₂=F．
∴x₁x₂-y₁y₂=F-F=0．命題③正確；
對(duì)于④，∵x∈(0，

π

2

)時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx-x的導(dǎo)數(shù)f′（x）=cosx-1＜0，
∴f（x）＜f（0）=0，
∴sinx＜x，則只有x=0時(shí)sin0=0，
又函數(shù)y=sinx與y=x均為奇函數(shù)，
∴函數(shù)y=sinx的圖象與函數(shù)y=x的圖象只有1個(gè)公共點(diǎn)，即函數(shù)f（x）=sinx-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有1個(gè)．
命題④錯(cuò)誤．
∴真命題為①③．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了特稱(chēng)命題否定的寫(xiě)法，考查了利用直線(xiàn)的一般式方程判斷直線(xiàn)的垂直關(guān)系，訓(xùn)練了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，是中檔題．