Question

下列命題正確的是

 

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）
①函數(shù)f(x)=cos2x-2

3

sinxcosx在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上是單調(diào)遞增的；
②在△ABC中，BC=1，B=60°，當(dāng)△ABC的面積為

3

時(shí)，AB=4；
③若

a

為非零向量，且

a

•

b

=0，則滿足條件的向量

b

有無數(shù)個(gè)；
④已知

π

2

＜α＜β＜π，且sinα=

5

5

，sinβ=

10

10

，則α+β=

5π

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：①化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），然后求出余弦型函數(shù)的增區(qū)間，從而判斷出命題①錯(cuò)誤；
②把BC=1，B=60°代入三角形的面積公式求得AB的值判斷命題②；
③由向量數(shù)量積為0的條件判斷；
④利用給出的三角函數(shù)值，直接求出α+β的值判斷命題④．

解答： 解：對(duì)于①，f(x)=cos2x-2

3

sinxcosx
=cos2x-

3

sin2x=2(

1

2

cos2x-

3

2

sin2x)
=2cos(2x+

π

3

)．
由-π+2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ，k∈Z，得
-

2π

3

+kπ≤x≤-

π

6

+kπ，k∈Z．
取k=1，得

π

3

≤x≤

5π

6

．
∴函數(shù)f(x)=cos2x-2

3

sinxcosx在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上不是單調(diào)遞增的．命題①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，由S△ABC=

1

2

•AB•BCsinB=

1

2

•1•AB•sin60°=

1

2

×

3

2

AB=

3

，
∴AB=4．命題②正確；
對(duì)于③，∵

a

為非零向量，則零向量及與

a

垂直的非零向量均滿足

a

•

b

=0，
∴命題③正確；
對(duì)于④，∵

π

2

＜α＜β＜π，且sinα=

5

5

，sinβ=

10

10

，
∴cosα=-

1-sin2α

=-

1-( 5 5 )2

=-

2 5

5

，
cosβ=-

1-sin2β

=-

1-( 10 10 )2

=-

3 10

10

．
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=-

2 5

5

×(-

3 10

10

)-

5

5

×

10

10

=

2

2

．
又π＜α+β＜2π，
∴α+β=

7π

4

．命題④錯(cuò)誤．
∴正確的命題是②③．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查三角函數(shù)的單調(diào)性、解三角形及已知三角函數(shù)值求角等問題，是中檔題．