Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x}+klnx，k≠0$．
（Ⅰ）當(dāng)k=1時，求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=k有解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）（法一）令g（x）=f（x）-k，則問題等價于函數(shù)g（x）存在零點，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解出即可；（法二）問題等價于方程1+kx（lnx-1）=0有解，令g（x）=kx（lnx-1）+1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解出即可；（法三）問題等價于方程$\frac{1}{k}=x（1-lnx）$有解，設(shè)函數(shù)g（x）=x（1-lnx），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解出即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x}+klnx$的定義域為（0，+∞）．…．（1分）
$f'（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{k}{x}$．…．（3分）
當(dāng)k=1時，$f'（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x^2}$，
令f'（x）=0，得x=1，…．（4分）
所以f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

…．（6分）
所以f（x）在x=1處取得極小值f（1）=1，無極大值．…．（7分）f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）．…．（8分）
（Ⅱ）因為關(guān)于x的方程f（x）=k有解，
令g（x）=f（x）-k，則問題等價于函數(shù)g（x）存在零點，…．（9分）
所以$g'（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{k}{x}=\frac{kx-1}{x^2}$．…．（10分）
令g'（x）=0，得$x=\frac{1}{k}$．
當(dāng)k＜0時，g'（x）＜0對（0，+∞）成立，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
而g（1）=1-k＞0，$g（{e^{1-\frac{1}{k}}}）=\frac{1}{{{e^{1-\frac{1}{k}}}}}+k（1-\frac{1}{k}）-k=\frac{1}{{{e^{1-\frac{1}{k}}}}}-1＜\frac{1}{e}-1＜0$，
所以函數(shù)g（x）存在零點．…．（11分）
當(dāng)k＞0時，g'（x），g（x）隨x的變化情況如下表：

x	$（0，\frac{1}{k}）$	$\frac{1}{k}$	$（\frac{1}{k}，+∞）$
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	極小值	↗

所以$g（\frac{1}{k}）=k-k+kln\frac{1}{k}=-klnk$為函數(shù)g（x）的最小值，
當(dāng)$g（\frac{1}{k}）＞0$時，即0＜k＜1時，函數(shù)g（x）沒有零點，
當(dāng)$g（\frac{1}{k}）≤0$時，即k≥1時，注意到$g（e）=\frac{1}{e}+k-k＞0$，所以函數(shù)g（x）存在零點．
綜上，當(dāng)k＜0或k≥1時，關(guān)于x的方程f（x）=k有解．…．（13分）
法二：
因為關(guān)于x的方程f（x）=k有解，
所以問題等價于方程1+kx（lnx-1）=0有解，…．（9分）
令g（x）=kx（lnx-1）+1，所以g'（x）=klnx，…．（10分）
令g'（x）=0，得x=1
當(dāng)k＜0時，g'（x），g（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗	極大值	↘

所以函數(shù)g（x）在x=1處取得最大值，而g（1）=k（-1）+1＞0.$g（{e^{1-\frac{1}{k}}}）=1+k{e^{1-\frac{1}{k}}}（1-\frac{1}{k}-1）=1-{e^{1-\frac{1}{k}}}＜0$，
所以函數(shù)g（x）存在零點．…．（11分）
當(dāng)k＞0時，g'（x），g（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	極小值	↗

所以函數(shù)g（x）在x=1處取得最小值，而g（1）=k（-1）+1=1-k．
當(dāng)g（1）=k（-1）+1=1-k＞0時，即0＜k＜1時，函數(shù)g（x）不存在零點．
當(dāng)g（1）=k（-1）+1=1-k≤0，即k≥1時，g（e）=ke（lne-1）+1=1＞0
所以函數(shù)g（x）存在零點．…．（13分）
綜上，當(dāng)k＜0或k≥1時，關(guān)于x的方程f（x）=k有解．
法三：因為關(guān)于x的方程f（x）=k有解，
所以問題等價于方程$\frac{1}{k}=x（1-lnx）$有解，…．（9分）
設(shè)函數(shù)g（x）=x（1-lnx），所以g'（x）=-lnx．…．（10分）
令g'（x）=0，得x=1，g'（x），g（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗	極大值	↘

所以函數(shù)g（x）在x=1處取得最大值，而g（1）=1，…．（11分）
又當(dāng)x＞1時，1-lnx＜0，所以x（1-lnx）＜1-lnx，
所以函數(shù)g（x）的值域為（-∞，1]，…．（12分）
所以當(dāng)$\frac{1}{k}∈（-∞，1]$時，關(guān)于x的方程f（x）=k有解，
所以k∈（-∞，0）∪[1，+∞）．…．（13分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．