Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{{n}^{2}}{an+b}$，若a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{5}{6}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}+n-1}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．求滿足T_n＞$\frac{2006}{2016}$的最小正整數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）令n=1，n=2可得a，b的方程，解方程可得a=b=1，可得前n項(xiàng)和S_n，再由當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=$\frac{1}{2}$，當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，計(jì)算可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}+n-1}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，解不等式即可得到所求n的最小值．

解答 解：（1）由a₁=S₁=$\frac{1}{a+b}$=$\frac{1}{2}$，
S₂=a₁+a₂=$\frac{4}{2a+b}$=$\frac{4}{3}$，
可得a=b=1，
則S_n=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$；
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$-$\frac{（n-1）^{2}}{n}$=$\frac{{n}^{2}+n-1}{{n}^{2}+n}$，
對(duì)n=1也成立；
可得a_n=$\frac{{n}^{2}+n-1}{{n}^{2}+n}$；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}+n-1}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
前n項(xiàng)和T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$，
T_n＞$\frac{2006}{2016}$即為1-$\frac{1}{n+1}$＞$\frac{2006}{2016}$，
解得n＞200.6，由于n為正整數(shù)，
可得最小正整數(shù)n為201．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查數(shù)列不等式的解法，注意運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．