Question

在數(shù)列{a_n}中，a1=1，an+1=(1+

1

n

)an+

n+1

2n

．
（1）設(shè)b_n=

an

n

，求b_n+1-b_n
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式
（3）求數(shù)列{2n-a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得b₁=a₁=1，且

an+1

n+1

=

an

n

+

1

2n

，由此能推導(dǎo)出b_n+1-b_n=

1

2n

．
（2）由累加法得b_n=b₁+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n+1

=2-

1

2n-1

（n≥2），由此能求出b_n=2-

1

2n-1

．
（3）由（2）知a_n=2n-

n

2n-1

，2n-a_n=

n

2n-1

，由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{2n-a_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}，a1=1，an+1=(1+

1

n

)an+

n+1

2n

，
∴由已知得b₁=a₁=1，且

an+1

n+1

=

an

n

+

1

2n

，
即b_n+1=b_n+

1

2n

，從而b₂=b₁+

1

2

，
b₃=b₂+

1

22

，
b_n=b_n-1+

1

2n-1

，（n≥2）．
∴b_n-b_n-1=

1

2n-1

，（n≥2）．
∴b_n+1-b_n=

1

2n

．
（2）b_n=b₁+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n+1

=2-

1

2n-1

（n≥2）．
又b₁=1，
故所求的通項公式為b_n=2-

1

2n-1

．
（3）由（2）知a_n=2n-

n

2n-1

，2n-a_n=

n

2n-1

，
故S_n=1+

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

，

1

2

S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n

2n

，
①-②得，

1

2

T_n=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

2

2n

-

n

2n

，
∴S_n=4-

n+2

2n-1

．

點評：本題考查b_n+1-b_n的求法，考查數(shù)列{b_n}的通項公式的求法，考查數(shù)列{2n-a_n}的前n項和S_n的求法，解題時要認真審題，注意累加法的合理運用．