設(shè)兩個(gè)非零向量
e1
和
e2
不共線．
（1）如果
AB
=
e1
+
e2
，
BC
=2
e1
+8
e2
，
CD
=3
e1
-3
e2
，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；
（2）若|
e1
|=2，|
e2
|=3，
e1
與
e2
的夾角為60°，是否存在實(shí)數(shù)m，使得m
e1
+
e2
與
e1
-
e2
垂直？并說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）首先利用向量的加法運(yùn)算，得到
AD
，然后觀察與
AB
的共線關(guān)系判斷三點(diǎn)共線；
（2）假設(shè)存在m，利用向量垂直，數(shù)量積為0，得到m的方程，解方程即可．
解答： 證明：（1）∵
AD
=
AB
+
BC
+
CD
=（
e1
+
e2
）+（2
e1
+8
e2
）+（3
e1
-3
e2
）
=6（
e1
+
e2
）=6
AB
（3分）
∴
AD
∥
AB
且
AD
與
AB
有共同起點(diǎn)（5分）
∴A、B、D三點(diǎn)共線（6分）
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得m
e1
+
e2
與
e1
-
e2
垂直，
則（m
e1
+
e2
）•（
e1
-
e2
）=0
∴m
e1
2+(1-m)
e1
•
e2
-
e2
2=0（8分）
∵|
e1
|=2，|
e2
|=3，
e1
與
e2
的夾角為60°
∴
e1
2=|
e1
|2=4，
e2
2=|
e2
|2=9，
e1
•
e2
=|
e1
||
e2
|cosθ=2×3×cos60°=3
∴4m+3（1-m）-9=0
∴m=6
故存在實(shí)數(shù)m=6，使得m
e1
+
e2
與
e1
-
e2
垂直．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用向量共線判斷三點(diǎn)共線以及向量垂直的性質(zhì)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某校為了解學(xué)生的體重發(fā)育情況，現(xiàn)從600名高一男生體檢評(píng)價(jià)報(bào)告單中隨機(jī)抽出50名學(xué)生的體重（單位：kg）數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后分成五組，得到頻率分布表如下：
分組頻數(shù)頻率
一39.5-49.560.12
二49.5-59.5a0.12
三59.5-69.518c
四69.5-79.5bd
五79.5-89.520.04
合計(jì)50e
（Ⅰ）若抽樣中采用了系統(tǒng)抽樣的方法，且將這600名男生隨機(jī)地編號(hào)為000，001，002，…，599，試寫出第二組第一位學(xué)生的編號(hào)；
（Ⅱ）求出a，b，c，d的值（直接寫出結(jié)果），并補(bǔ)全上面的頻率分布直方圖；
（Ⅲ）若規(guī)定，男生的體重結(jié)果分為偏瘦、偏胖和正常三個(gè)類型，超過(guò)69.5屬于偏胖，低于49.5屬于偏瘦，問(wèn)這600名男生中體重正常的人數(shù)約為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a3=3，S7=28，在等比數(shù)列{bn}中，b3=4，b4=8，
（1）求an及bn；
（2）設(shè)數(shù)列{an•bn}的前n項(xiàng)和Tn，求T5．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax+
1-a
x
-1．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)a=
1
3
時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=x2-2bx-
5
12
，若對(duì)于?x1∈[1，2]，?x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．
（1）計(jì)算a2，a3，a4的值，猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（2）若p，q，r是三個(gè)互不相等的正整數(shù)，且p，q，r成等差數(shù)列，試判斷ap，aq，ar是否成等比數(shù)列？并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F、G分別為AB、BC、BB1的中點(diǎn)．則以B為頂點(diǎn)的三棱錐B-GEF的高h(yuǎn)=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（文科）已知A、B是拋物線y2=4x上的兩點(diǎn)，點(diǎn)M（4，0）滿足：
MA
=λ
BM
，動(dòng)點(diǎn)P滿足
AP
=
OB
．
①求P點(diǎn)軌跡方程；
②若直線AB與圓：（x-1）2+y2=1相離，求λ取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知在200m高的山頂A處，測(cè)得山下一塔頂B與塔底C的俯角分別是30°，
60°，求塔高BC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)y=（
1
2
） x2-2x單調(diào)遞增區(qū)間是
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案