Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）計(jì)算a₂，a₃，a₄的值，猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（2）若p，q，r是三個(gè)互不相等的正整數(shù)，且p，q，r成等差數(shù)列，試判斷a_p，a_q，a_r是否成等比數(shù)列？并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,推理和證明

分析：（1）利用已知條件通過(guò)n=1，2，3，直接計(jì)算a₂，a₃，a₄的值，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想的通{a_n}項(xiàng)公式，用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟直接證明即可．
（2）p，q，r成等差數(shù)列⇒p+r=2q，假設(shè)a_p，a_q，a_r成等比數(shù)列，可由a_p•a_r=a_q²⇒2^p+2^r=2×2^q．（*）利用基本不等式 可得2^p+2^r＞2

2p×2q

=2×2^q，這與（*）式矛盾，從而可得a_p，a_q，a_r不是等比數(shù)列．

解答： 解：（1）由已知a₁=1，a_n+1=2a_n+1，
可得，n=1時(shí)，a₂=2+1=3；
n=2時(shí)，a₃=6+1=7；
n=3時(shí)，a₄=14+1=15．…（3分）
…
由此猜想 a_n=2ⁿ-1．…（4分）
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，由已知，a₁=2¹-1=1，滿足條件．
…（6分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)猜想成立，即a_k=2^k-1．…（7分）
則n=k+1時(shí)，
a_k+1=2a_k+1=2（2^k-1）+1=2^k+1-1．
所以 當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．
根據(jù)①和②，可知猜想對(duì)于任何n∈N^*都成立．…（9分）
（2）解：∵p，q，r成等差數(shù)列，
∴p+r=2q．
假設(shè)a_p，a_q，a_r成等比數(shù)列，
則a_p•a_r=a_q²，…（10分）
即（2^p-1）（2^r-1）=（2^q-1）²，
化簡(jiǎn)得：2^p+2^r=2×2^q．（*）        …（11分）
∵p≠r，
∴2^p+2^r＞2

2p×2q

=2×2^q，
這與（*）式矛盾，故假設(shè)不成立．…（13分）
∴a_p，a_q，a_r不是等比數(shù)列．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查合情推理、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，屬于難題．