Question

5．已知F（1，0），直線l：x=-1，P為平面上的動點，過點P作l的垂線，垂足為點Q，且$\overrightarrow{QP}$•$\overrightarrow{QF}$=$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FQ}$．
（1）求動點P的軌跡G的方程；
（2）點F關(guān)于原點的對稱點為M，過F的直線與G交于A、B兩點，且AB不垂直于x軸，直線AM交曲線G于C，直線BM交曲線C于D．
①證明直線AB與曲線CD的傾斜角互補(bǔ)；
②直線CD是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過定點，求出這個定點，否則，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用直接法，求動點P的軌跡G的方程；
（2）①證明k_CD+k_AB=0，即可證明直線AB與曲線CD的傾斜角互補(bǔ)；②求出直線CD的方程，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：設(shè)P（x，y），則Q（-1，y），
∵F（1，0），且$\overrightarrow{QP}$•$\overrightarrow{QF}$=$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FQ}$，
∴（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），化簡得y²=4x；
（2）①證明：F關(guān)于原點的對稱點為M（-1，0），設(shè)直線AB的方程為x=ny+1，
代入拋物線方程，可得y²-4ny-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁y₂=-4．
過M的直線AM的方程為x=my-1，
聯(lián)立拋物線方程，可得y²-4my+4=0，
設(shè)C（x₃，y₃），則y₁y₃=4．
∴k_AB=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，k_CD=$\frac{-4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
∴k_CD+k_AB=0．
∴直線AB與直線CD的傾斜角互補(bǔ)．
②解：直線CD的方程為y=-$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$（x-$\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}$）+$\frac{4}{{y}_{1}}$，
令y=0，得x=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}}+\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{y}_{1}{y}_{2}+4}{{{y}_{1}}^{2}}$=1，
∴直線CD過定點（1，0）．

點評 本題綜合考查了直線與拋物線的位置關(guān)系、斜率計算公式、直線的方程等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．