Question

1．如圖，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求棱錐E-DFC的體積；
（3）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？如果存在，求出$\frac{BP}{BC}$的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由三角形中位線定理得EF∥AB，從而得到AB∥平面DE．
（2）由AD⊥CD，BD⊥CD，AD⊥BD，得AD⊥平面BCD． 行求出三角形CDB的面積，再求出點E到平面CDF的距離，由此能求出棱錐E-DFC的體積．
（3）以點D為坐標(biāo)原點，直線DB，DC，DA分別為經(jīng)，x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出在線段BC上存在點P，使AP⊥DE，且$\frac{BP}{BC}$=$\frac{1}{3}$．

解答 解：（1）直線AB∥平面DEF，理由如下
如圖，在△ABC中，由E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點，得EF∥AB，
又AB?平面DEF，EF?平面DEF．
∴AB∥平面DE． 
（2）∵正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點，
現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
∴AD⊥CD，BD⊥CD，∴AD⊥BD，得AD⊥平面BCD． 
∵BD=AD=2，CD=2$\sqrt{3}$，∴S_△CDF=$\frac{1}{2}{S}_{△BDC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
點E到平面CDF的距離h=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴棱錐E-DFC的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△CDF}$×h=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）以點D為坐標(biāo)原點，直線DB，DC，DA分別為經(jīng)，x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2$\sqrt{3}$，0），E（0，$\sqrt{3}$，1），F(xiàn)（1，$\sqrt{3}$，0），D（0，0，0），
設(shè)P（x，y，0），$\overrightarrow{AP}$=（x，y，-2），$\overrightarrow{DE}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
由AP⊥DE，得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{DE}$=$\sqrt{3}$y-2=0，得y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
又$\overrightarrow{BP}$=（x-2，y，0），$\overrightarrow{BC}$=（-2，2$\sqrt{3}$，0），
∵$\overrightarrow{BP}$∥$\overrightarrow{BC}$，∴$\sqrt{3}x+y=2\sqrt{3}$，
將y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$代入上式，得x=$\frac{4}{3}$，∴$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，
∴在線段BC上存在點P，使AP⊥DE，且$\frac{BP}{BC}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線面關(guān)系的判斷，考查棱錐體積的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．