Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1-a}{2}{x}^{2}+ax-lnx$（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=3，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞1，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=-x²+3x-lnx（x＞0）．
f′（x）=-2x+3-$\frac{1}{x}$=$\frac{-（2x-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴f（x）_極大值=f（1）=2，f（x）_極小值=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$+ln2；
（Ⅱ）當(dāng)a＞1時(shí)，f′（x）=$\frac{（1-a）（x-\frac{1}{a-1}）（x-1）}{x}$，
當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）=$\frac{{-（x-1）}^{2}}{x}$≤0，函數(shù)f（x）在x＞0時(shí)單調(diào)遞減；
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，$\frac{1}{a-1}$＞1，令f′（x）＜0，解得0＜x＜1或x＞$\frac{1}{a-1}$，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
令f′（x）＞0，解得1＜x＜$\frac{1}{a-1}$，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞2時(shí)，0＜$\frac{1}{a-1}$＜1，令f′（x）＜0，解得0＜x＜$\frac{1}{a-1}$或x＞1，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
令f′（x）＞0，解得$\frac{1}{a-1}$＜x＜1，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
綜上可得：當(dāng)1＜a＜2時(shí)，f（x）在x∈（0，1）或（$\frac{1}{a-1}$，+∞）單調(diào)遞減；f（x）在（1，$\frac{1}{a-1}$）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）在（0，$\frac{1}{a-1}$）或（1，+∞）上）單調(diào)遞減；函數(shù)f（x）（$\frac{1}{a-1}$，1）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．