Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=r（r＞0），且{a_na_n+1}是公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，設(shè)b_n=a_2n-1+a_2n（n∈N^*），
（1）求使a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3（n∈N^*）成立的q的取值范圍；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）試證明：當(dāng)q≥2時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)n≥2，S_n不可能是數(shù)列{b_n}中的某一項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、不等式的解法即可得出．
（2）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．
（3）利用求和公式、作差方法即可得出．

解答 （1）解：由a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3（n∈N^*），
依題意得q^n-1+qⁿ＞qⁿ⁺¹，即q²-q-1＜0，
∴$0＜q＜\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．
（2）解：∵$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{2n+1}}+{a_{2n+2}}}}{{{a_{2n-1}}+{a_{2n}}}}=\frac{{\frac{{{a_{2n}}{a_{2n+1}}}}{{{a_{2n}}}}+\frac{{{a_{2n+1}}{a_{2n+2}}}}{{{a_{2n+1}}}}}}{{{a_{2n-1}}+{a_{2n}}}}=\frac{{\frac{{{a_{2n-1}}{a_{2n}}}}{{{a_{2n}}}}q+\frac{{{a_{2n}}{a_{2n+1}}}}{{{a_{2n+1}}}}q}}{{{a_{2n-1}}+{a_{2n}}}}=q（q＞0）$，
且b₁=a₁+a₂=1+r＞0，
∴數(shù)列{b_n}是以1+r為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，
∴${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{n（1+r）}\\{\frac{{（1+r）（1-{q^n}）}}{1-q}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{q=1}\\{q≠1}\end{array}$．
（3）證明：當(dāng)q≥2時(shí)，${S_n}=\frac{{（1+r）（1-{q^n}）}}{1-q}$，
∵${S_n}-{a_{n+1}}=\frac{{（1+r）（1-{q^n}）}}{1-q}-（1+r）{q^n}=\frac{1+r}{1-q}[（1-{q^n}）-{q^n}（1-q）]$=$\frac{1+r}{1-q}[1+{q^n}（q-2）]＜0$，
∴S_n＜a_n+1，
又S_n=a₁+a₂+…+a_n，${a_n}＞0，n∈{N^*}$，∴S_n＞a_n，
故當(dāng)q≥2時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)n≥2，S_n不可能是數(shù)列{b_n}中的某一項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、不等式的解法、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、求和公式、作差方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．