Question

4．已知函數(shù)f（x）=2x²-4x-5．    
（1）當x∈[-2，2]時，求函數(shù)f（x）的最值；
（2）當x∈[t，t+1]時，求函數(shù)f（x）的最小值g（t）；
（3）在第（2）問的基礎上，求g（t）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用對稱軸和開口方向判斷f（x）的單調(diào)性，再求出最值；
（2）討論區(qū)間[t，t+1]與對稱軸x=1的關系，得出f（x）在[t，t+1]上的單調(diào)性，從而得出最小值；
（3）判斷g（t）的單調(diào)性，得出最小值．

解答 解：（1）f（x）=2（x-1）²-7，
∴f（x）的圖象開口向上，對稱軸為x=1，
∴當x=1時，f（x）取得最小值f（1）=-7，當x=-2時，f（x）取得最大值f（-2）=11．
（2）若t≥1，則f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增，
∴g（t）=f（t）=2t²-4t-5，
若t+1≤1即t≤0，則f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減，
∴g（t）=f（t+1）=2t²-7，
若t＜1＜t+1，即0＜t＜1時，f（x）在[t，t+1]上先減后增，
∴g（t）=f（1）=-7．
∴g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{2{t}^{2}-7，t≤0}\\{-7，0＜t＜1}\\{2{t}^{2}-4t-5，t≥1}\end{array}\right.$．
（3）當t≤0時，g（t）是減函數(shù)，
∴g（t）在（-∞，0]上的最小值為g（0）=-7，
當0＜t＜1時，g（t）=-7，
當t≥1時，g（t）是增函數(shù)，
∴g（t）在[1，+∞）上的最小值為g（1）=-7，
∴g（t）的最小值為-7．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性與最值的計算，分類討論思想，屬于中檔題．