Question

4．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，且過點（1，$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)與圓O：x²+y²=$\frac{3}{4}$相切的直線L交橢圓于A，B兩點，M為圓O上的動點，求△ABM面積的最大值，及取得最大值時的直線L的方程．

Answer 1

分析 （1）利用由條件求出橢圓的幾何量，然后求解橢圓方程．
（2）①當k不存在時，直接求解三角形的面積；
②當k存在時，設(shè)直線為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）聯(lián)立直線與橢圓的方程組，通過韋達定理與距離公式表示出三角形的面積，利用基本不等式求出最大值．然后求解直線方程．

解答 解析：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a^2}+\frac{2}{{3{b^2}}}=1\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}\end{array}\right.$--------------（2分）
a²=3，b²=1，∴$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$------------（4分）
（2）①當k不存在時，$x=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}，{（{S_{△ABM}}）_{max}}=\frac{3}{2}$------（5分）
②當k存在時，設(shè)直線為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.，（1+3{k^2}）{x^2}+6km+3{m^2}-3=0$，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-6km}{1+3{k}^{2}}{，x}_{1}{x}_{2}=\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$----------（7分）
圓O：x²+y²=$\frac{3}{4}$與直線L相切，可得d=r，可得4m²=3（1+k²）---------（8分）$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（\frac{-6km}{{1+3{k^2}}}）}^2}-\frac{{12（{m^2}-1）}}{{1+3{k^2}}}}=\sqrt{3}•\sqrt{\frac{{1+10{k^2}+9{k^4}}}{{1+6{k^2}+9{k^4}}}}=\sqrt{3}•\sqrt{1+\frac{{4{k^2}}}{{1+6{k^2}+9{k^4}}}}$
=$\sqrt{3}•\sqrt{1+\frac{4}{\frac{1}{{k}^{2}}+9{k}^{2}+6}}$$≤\sqrt{3}×\sqrt{\frac{4}{3}}=2$，當且僅當k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$時取等號-------（10分）
△ABM面積S_△ABM=$\frac{1}{2}$|AB|h=h，（h為M到AB的距離），
∵${h_{max}}=2r=\sqrt{3}$，∴${（{S}_{△ABM}）}_{max}=\sqrt{3}$，此時直線方程為$y=±\frac{\sqrt{3}}{3}x±1$，
∵$\frac{3}{2}＜\sqrt{3}$，∴${（{S_{△ABM}}）_{max}}=\sqrt{3}，y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x±1$------------（12分）

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分析問題解決問題的能力．