Question

3．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q，M，N分別為AD，AB，C₁D₁，B₁C₁的中點，求證：
（1）A₁P∥CN；
（2）A₁Q∥CM；
（3）∠PA₁Q=∠MCN．

Answer 1

分析 （1）可想著在A₁P所在平面內(nèi)，作CN的平行線，從而可取A₁D₁的中點N′，并連接NN′，DN′，從而可說明DN′∥CN，而容易得到A₁P∥DN′，從而得出A₁P∥CN；
（2）證明過程同（1），可取A₁B₁的中點M′，并連接BM′，MM′，從而可得到CM∥BM′，從而得出A₁Q∥CM；
（3）對于本問的證明，可由定理：一個角度兩邊分別平行于另一個角的兩邊，這兩個角相等或互補，得出．

解答 證明：（1）如圖，取A₁D₁的中點N′，連接NN′，DN′；
又N為B₁C₁中點；
∴NN′∥CD，且NN′=CD；
∴四邊形CDN′N為平行四邊形；
∴CN∥DN′；
∵P為AD中點；
∴四邊形DPA₁N′為平行四邊形；
∴A₁P∥DN′；
∴A₁P∥CN；
（2）過程同上，取A₁B₁的中點M′，連接BM′，MM′，可得到四邊形BCMM′為平行四邊形，∴CM∥BM′；
又A₁Q∥BM′；
∴A₁Q∥CM；
（3）由（1）（2）知∠PA₁Q的兩邊分別平行于∠MCN的兩邊；
∴∠PA₁Q=∠MCN．

點評 考查平行四邊形的定義及其判定，平行線的傳遞性，以及空間中一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，這兩個角相等或互補．