Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n=（n-1）a_n-1（n≥2），求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 由已知得a₁=1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n}$，n≥2，由此利用累乘法能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n=（n-1）a_n-1（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n}$，n≥2，
∴${a}_{n}={a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=1×$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$×…×$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n}$．
故數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=$\frac{1}{n}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是基礎題，解題時要注意累乘法的合理運用．