Question

16．已知a≥1，函數(shù)f（x）=4x+$\frac{9}{x+1}$+4（x∈[0，1]），g（x）=x³-3a²x-2a+16（x∈[0，1]）．
（1）求f（x）和g（x）的值域；
（2）若?x₁∈[0，1]，?x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式的性質(zhì)即可求f（x）的值域，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，進(jìn)行求解即可．
（2）條件等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{g（x）_{max}≥f（x）_{max}}\\{g（x）_{min}≤f（x）_{min}}\end{array}\right.$，利用函數(shù)的值域建立不等式關(guān)系即可．

解答 解：（1）f（x）=4x+$\frac{9}{x+1}$+4=4（x+1）+$\frac{9}{x+1}$，
設(shè)t=x+1，∵x∈[0，1]，
∴t∈[1，2]），
則函數(shù)等價(jià)為h（t）=4t+$\frac{9}{t}$=4（t+$\frac{\frac{9}{4}}{t}$），則函數(shù)在[1，$\frac{3}{2}$]上單調(diào)遞減，在[$\frac{3}{2}$，2]上單調(diào)遞增，
則函數(shù)的最小值為h（$\frac{3}{2}$）=4×$\frac{3}{2}$+$\frac{9}{\frac{3}{2}}$=6+6=12，
h（1）=4+9=13，h（2）=8+$\frac{9}{2}$=$\frac{25}{2}$，
則最大值為h（1）=13，
則函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇12，13]．
g′（x）=3x²-3a²=3（x²-a²），（x∈[0，1]）．
∵a≥1，∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，g′（x）＜0．
即函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞減，則函數(shù)的最大值為g（0）=16-2a，最小值為g（1）=-3a²-2a+17，
則函數(shù)的值域?yàn)閇-3a²-2a+17，16-2a]．
（2）若?x₁∈[0，1]，?x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，
則等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{g（x）_{max}≥f（x）_{max}}\\{g（x）_{min}≤f（x）_{min}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{16-2a≥13}\\{-3{a}^{2}-2a+17≤9}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{3}{2}}\\{a≥\frac{4}{3}或a≤-2}\end{array}\right.$，解得$\frac{4}{3}$≤a≤$\frac{3}{2}$，
即a的取值范圍是[$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用導(dǎo)數(shù)法和基本不等式法是解決本題的關(guān)鍵．，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．