Question

在直角坐標系xOy中 已知橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1上一點P（1，

3

2

），過點P的直線l₁，l₂與橢圓C分別交于點A、B，且他們的斜率k₁，k₂滿足k₁．k₂=-

3

4

，求證：
（1）直線AB過定點；
（2）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)直線l₁的方程為y=k1(x-1)+

3

2

，聯(lián)立

y=k1(x-1)+ 3 2 x2 4 y2 3 =1

，得(3+4k12)x2+(12k1-8k12)x+4k12-12k1-3=0，由此利用已知條件能證明A，B關(guān)于原點O對稱，即直線AB過定點O．
（2）設(shè)A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），x₀≠±1，直線AB的方程為y₀x-x₀y=0，AB=2

x02+y02

，點P到直線AB的距離為d=

|y0- 3 2 x0|

x02+y02

，點P到直線AB的距離為d=

|y0- 3 2 x0|

x02+y02

，由此能求出△PAB面積的最大值．

解答： （1）證明：設(shè)直線l₁的方程為y=k1(x-1)+

3

2

，
聯(lián)立

y=k1(x-1)+ 3 2 x2 4 y2 3 =1

，得(3+4k12)x2+(12k1-8k12)x+4k12-12k1-3=0，
解得x=1或x=

4k12-12k1-3

3+4k12

，即A（

4k12-12k1-3

3+4k12

，

-12k12-12k1+9

2(3+4k12)

），
同理，B（

4k22-12k2-3

3+4k22

，

-12k22-12k2+9

2(3+4k22)

），
∵k1k2=-

3

4

，∴k₂=-

3

4k1

，
∴

4k22-12k2-3

3+4k22

=

4(- 3 4k1 )2-12(- 3 4k1 )-3

3+4(- 3 4k1 )2

=

-4k12+12k1+3

3+4k12

，
同理，得

-12k22-12k2+9

2(3+4k22)

=

12k12+12k1-9

2(3+4k12)

．
∴A，B關(guān)于原點O對稱，即直線AB過定點O．
（2）由（1）可設(shè)A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），x₀≠±1，
則直線AB的方程為y₀x-x₀y=0，
∴AB=2

x02+y02

，點P到直線AB的距離為d=

|y0- 3 2 x0|

x02+y02

，
∴AB=2

x02+y02

，
點P到直線AB的距離為d=

|y0- 3 2 x0|

x02+y02

，
∴S_△PAB=

1

2

AB•d=

1

2

•2

x02+y02

•

|y0- 3 2 x0|

x02+y02

=|y₀-

3

2

x0|，
令t=y₀-

3

2

x0，
則y0=

3

2

x0+t，
代入

x02

4

+

y02

3

=1，得x02+tx0+

t2

3

-1=0，
令△=t2-4(

t2

3

-1)≥0，解得|t|≤2

3

，
當且僅當

x0= 3 y0=- 3 2

或

x0=- 3 y0= 3 2

時，
|t|有最大值2

3

，∴△PAB面積的最大值為2

3

．

點評：本題考查直線過定點的證明，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．