Question

2．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若A=2B，則$\frac{c}$的取值范圍是（　　）

• A． （1，3）
• B． （2，3）
• C． （0，3）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 由∠A=2∠B可得C=π-3B，由A，B，C∈（0，$\frac{π}{2}$）可先確定B的范圍，利用正弦定理化簡表達式，求出范圍即可．

解答 解：在銳角△ABC中，若A=2B，則B∈（0，$\frac{π}{4}$），C=π-3B＜$\frac{π}{2}$，故B＞$\frac{π}{6}$，
∴B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），∴cosB∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
則 $\frac{c}$=$\frac{sinC}{sinB}$=$\frac{sin3B}{sinB}$=$\frac{3sinβ-{4sin}^{3}B}{sinB}$=3-4sin²B=4cos²B-1．
令t=cosB，則t∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），函數(shù)y=$\frac{c}$=4t²-1在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）上單調(diào)遞增．
故當(dāng)cosB趨于$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，y=4t²-1趨于2； 當(dāng)cosB趨于$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，y=4t²-1趨于1，故y的范圍為（1，2）．
故選：D．

點評 本題主要考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，注意銳角三角形中角的范圍的確定，是本題解答的關(guān)鍵，考查計算能力，邏輯推理能力，屬于中檔題．