Question

13．在開展研究性學習活動中，班級的學習小組為了解某生活小區(qū)居民用水量y（噸）與氣溫x（℃）之間的關系，隨機統(tǒng)計并制作了5天該小區(qū)居民用水量與當天氣溫的對應表：

日期	9月5日	10月3日	10月8日	11月16日	12月21日
氣溫x（℃）	18	15	11	9	-3
用水量y（噸）	69	57	45	47	32

（1）若從這隨機統(tǒng)計的5天中任取2天，求這2天中有且只有1天用水量超過50噸的概率（列出所有的基本事件）；
（2）由表中數據求得線性回歸方程中的$\widehat$≈1.6，試求出$\widehat{a}$的值，并預測當地氣溫為5℃時，該生活小區(qū)的用水量．（參考$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$，公式：$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （1）用列舉法寫出從5天中任取2天的所有基本事件，從中找出有且只有1天用水量低于50噸”的基本事件，利用個數比求概率；
（2）利用公式求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，根據回歸直線過過樣本中心（$\overline{x}$，$\overline{y}$）與系數b=1.4求出系數a，可得回歸直線方程，把x=5代入回歸方程得y值，即為當地氣溫為5℃時，該生活小區(qū)的用水量．

解答 解：（1）設在抽樣的5天中用水量不低于50噸的兩天為a_i（i=1，2），用水量低于50噸的三天為b_i（i=1，2，3），那么5天任取2天的基本事件是：（a₁，a₂），（a₁，b₁），（a₁，b₂）（a₁，b₃），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₂，b₃），（b₁，b₂），（b₁，b₃），（b₂，b₃）共計10個．…（2分）
設“從5天中任取2天，有且只有1天用水量超過50噸”為事件A，則A包括的基本事件為（a₁，b₁），（a₁，b₂）（a₁，b₃），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₂，b₃）共6個，
∴$P（A）=\frac{3}{5}$．…（5分）
∴從5天中任取2天，有且只有1天用水量超過50噸的概率為$\frac{3}{5}$．…（6分）
（2）依題意可知$\overline{x}$=$\frac{18+15+11+9-3}{5}$=10，$\overline y=\frac{69+57+45+47+32}{5}=50$，…（8分）
∵線性回歸直線過點（$\overline{x}$，$\overline{y}$），且$\widehatb≈1.6$，
∴把點（10，50）代入直線方程，得$\widehata=34$，…（10分）
∴$\widehaty=1.6x+34$，又x=5時，y=1.6×5+34=42
∴可預測當地氣溫為5℃時，居民生活用水量為42噸．…（12分）

點評 本題考查了回歸分析，考查了古典概型的概率計算，用列舉法求進步事件個數是進行古典概型概率的常用方法．