Question

8．已知M（x₀，y₀）是雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為C的兩個焦點(diǎn)，若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$＜0，則y₀的取值范圍為（　�。�

• A． （-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）
• B． （-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）
• C． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• D． （-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）

Answer 1

分析 求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到$\overrightarrow{M{F}_{1}}$，$\overrightarrow{M{F}_{2}}$的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積小于零列出不等式解出．

解答 解：∵M(jìn)（x₀，y₀）是雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1上的一點(diǎn)，∴x₀²=1+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$．
F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x₀，-y₀）$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-x₀，-y₀）．
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-x₀）（$\sqrt{3}-{x}_{0}$）+y₀²=x₀²+y₀²-3=$\frac{3}{2}$y₀²-2＜0．
解得-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜y₀＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了雙曲線的性質(zhì)，向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．