19.一元二次方程x2+2ax-b+1=0有兩個(gè)根,一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi),另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi).則a2+b2-4a+2b的取值范圍是($\frac{24}{5}$,8).

分析 根據(jù)二次函數(shù)的根的范圍得出不等式組,得出a,b滿足的條件,作出平面區(qū)域,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題求解.

解答 解:令f(x)=x2+2ax-b+1,則$\left\{\begin{array}{l}{f(0)>0}\\{f(1)<0}\\{f(2)>0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{b<1}\\{2a-b+2<0}\\{4a-b+5>0}\end{array}\right.$,作出平面區(qū)域如圖:
a2+b2-4a+2b=(a-2)2+(b+1)2-5.
由圖可知P(2,-1)到平面區(qū)域的最短距離為點(diǎn)P到直線2a-b+2=0的距離$\frac{7}{\sqrt{5}}$,
P(2,-1)到平面區(qū)域的最長(zhǎng)距離為點(diǎn)P到A的距離PA=$\sqrt{13}$.
∴$\frac{49}{5}<$(a-2)2+(b+1)2<13,∴$\frac{24}{5}<$(a-2)2+(b+1)2-5<8.
故答案為($\frac{24}{5}$,8).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),線性規(guī)劃,距離公式的應(yīng)用,屬于中檔題.

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