Question

19．一元二次方程x²+2ax-b+1=0有兩個(gè)根，一個(gè)根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間（1，2）內(nèi)．則a²+b²-4a+2b的取值范圍是（$\frac{24}{5}$，8）．

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)的根的范圍得出不等式組，得出a，b滿足的條件，作出平面區(qū)域，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題求解．

解答 解：令f（x）=x²+2ax-b+1，則$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b＜1}\\{2a-b+2＜0}\\{4a-b+5＞0}\end{array}\right.$，作出平面區(qū)域如圖：
a²+b²-4a+2b=（a-2）²+（b+1）²-5．
由圖可知P（2，-1）到平面區(qū)域的最短距離為點(diǎn)P到直線2a-b+2=0的距離$\frac{7}{\sqrt{5}}$，
P（2，-1）到平面區(qū)域的最長(zhǎng)距離為點(diǎn)P到A的距離PA=$\sqrt{13}$．
∴$\frac{49}{5}＜$（a-2）²+（b+1）²＜13，∴$\frac{24}{5}＜$（a-2）²+（b+1）²-5＜8．
故答案為（$\frac{24}{5}$，8）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，線性規(guī)劃，距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．