Question

設(shè)a∈R，且a≠2，函數(shù)f（x）=lg

1+ax

1+2x

是奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義建立條件關(guān)系求出a，然后根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=lg

1+ax

1+2x

是奇函數(shù)，則有f（-x）=-f（x）…（2分）
即lg

1-ax

1-2x

=-lg

1+ax

1+2x

，得lg

1-ax

1-2x

=lg

1+2x

1+ax

，所以a=-2…（4分）
所以f（x）=lg

1-2x

1+2x

，得

1-2x

1+2x

＞0，解得-

1

2

＜x＜

1

2

，
即函數(shù)f（x）的定義域為（-

1

2

，

1

2

）…（6分）
（2）令u(x)=

1-2x

1+2x

，則u′(x)=

-2(1+2x)-(1-2x)2

(1+2x)2

=

-4

(1+2x)2

…（8分）
則u'（x）＜0在（-

1

2

，

1

2

）上恒成立，所以u（x）在（-

1

2

，

1

2

）上為單調(diào)減函數(shù)，
又y=lgu在（0，+∞）上為增函數(shù)…（10分）
所以f（x）=lg

1-2x

1+2x

在（-

1

2

，

1

2

）為單調(diào)減函數(shù)．…（12分）

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．