Question

已知正方體ABCD-A′B′C′D′中，對角線A′C與平面BC′D交于點O，AC、BD交于M，求證：C′、O、M共線．

Answer 1

考點：三點共線

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：欲證C′，O，M三點共線，只須證它們都在平面A′ACC′與平面DBC′的交線上，根據(jù)立體幾何中的公理可知，只要說明C′，O，M三點是平面A′ACC′與平面DBC′的公共點即可．

解答： 證明：如圖，∵C′∈平面A₁ACC′，且C′∈平面DBC′，
∴C′是平面A₁ACC′與平面DBC′的公共點，
又∵M∈AC，
∴M∈平面A′ACC′，
∵M∈BD，
∴M∈平面DBC′，
∴M也是平面A′ACC′與平面DBC′的公共點，
∴C′M是平面A′ACC′與平面DBC′交線，
∵O是A′C與平面DBC′的交點，
∴O∈平面A′ACC′，O∈平面DBC₁，
∴O也是平面A′ACC′與平面DBC′的公共點，
∴O∈直線C′M，
即C′，O，M三點共線．

點評：本題主要考查了平面的基本性質(zhì)及推論，做題時目標明確，知道要證什么就需證什么，掌握基本方法．