Question

7．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+1=1+S_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和R_n．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=1+S_n（n∈N^*），變形為a_n=1+S_n-1（n＞1），兩式相減，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）求得數(shù)列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}為{n•（$\frac{1}{2}$）^n-1}，再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)即可得到所求．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=1+S_n（n∈N^*），
∴a_n=1+S_n-1（n＞1）
兩式相減可得a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n，
即有a_n+1=2a_n，由a₂=2，
可得a_n=a₂•2^n-2=2^n-1，
對(duì)n=1也成立，
則a_n=2^n-1（n∈N^*）；
（2）數(shù)列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}為{n•（$\frac{1}{2}$）^n-1}，
前n項(xiàng)和R_n=1•（$\frac{1}{2}$）⁰+2•$\frac{1}{2}$+3•（$\frac{1}{2}$）²+…+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$R_n=1•（$\frac{1}{2}$）¹+2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
兩式相減可得$\frac{1}{2}$R_n=1+（$\frac{1}{2}$）¹+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化簡(jiǎn)可得前n項(xiàng)和R_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．