若f(1)=lg
1
a
,且當(dāng)x≥2時(shí),滿足f(x-1)=f(x)-lgax-1(a>0,x∈N),則函數(shù)f(x)=
 
考點(diǎn):抽象函數(shù)及其應(yīng)用
專題:計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:運(yùn)用累加法,及恒等式:f(x)=f(1)+[f(2)-f(1)]+[f(3)-f(2)]+…+[f(x)-f(x-1)]
,再求和,即可求出函數(shù)的解析式.
解答: 解:∵f(1)=lg
1
a
,且當(dāng)x≥2時(shí),滿足f(x-1)=f(x)-lgax-1(a>0,x∈N),
∴f(1)=-lga,f(x-1)=f(x)-(x-1)•lga,
∴f(x)-f(x-1)=(x-1)•lga,
∴f(x)=f(1)+[f(2)-f(1)]+[f(3)-f(2)]+…+[f(x)-f(x-1)]
=(-lga)+lga+2lga+3lga+…+(x-1)lga
=
(x+1)•(x-2)
2
•lga
即f(x)=
(x+1)•(x-2)
2
•lga.
故答案為:
(x+1)•(x-2)
2
•lga.
點(diǎn)評:本題主要考查抽象函數(shù)及應(yīng)用,考查函數(shù)解析式的求法:累加法,是一道基礎(chǔ)題.
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