Question

9．（1）求函數(shù)f（x）=3•4^x-2^x在[0，+∞）上的值域．
（2）求函數(shù)f（x）=sinx+cos²x在R上的值域．

Answer 1

分析 （1）令t=2^x，由x的范圍求出t的范圍，然后利用關(guān)于t的二次函數(shù)在[1，+∞）上的單調(diào)性求得函數(shù)值域；
（2）化余弦為正弦，再利用換元法結(jié)合二次函數(shù)求得答案．

解答 解：（1）令t=2^x，
∵x∈[0，+∞），∴t∈[1，+∞），
則原函數(shù)化為g（t）=3t²-t，在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴g（t）≥g（1）=2．
∴原函數(shù)的值域為[2，+∞）；
（2）f（x）=sinx+cos²x=-sin²x+sinx+1．
令m=sinx，則m∈[-1，1]．
∴原函數(shù)化為h（m）=-m²+m+1，m∈[-1，1]．
當(dāng)m=-1時，h（m）_min=h（-1）=-1；
當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時，$h（m）_{max}=h（\frac{1}{2}）=\frac{5}{4}$．
∴函數(shù)f（x）=sinx+cos²x在R上的值域為[-1，$\frac{5}{4}$]．

點評 本題考查函數(shù)的值域及其求法，訓(xùn)練了換元法和配方法求函數(shù)的值域，是基礎(chǔ)題．