Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，點M是PD的中點，作ME⊥PC，交PC于點E．
（1）求證：PB∥平面MAC；
（2）求證：PC⊥平面AEM；
（3）求二面角A-PC-D的大�。�

Answer 1

分析 （1）建立空間坐標系，求出直線對應的向量，利用向量法即可證明PB∥平面MAC；
（2）根據(jù)線面垂直的判定定理結(jié)合向量法即可證明PC⊥平面AEM；
（3）根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角，結(jié)合向量即可求二面角A-PC-D的大�。�

解答 解：如圖建立空間直角坐標系D-xyz，設(shè)AD=1
（1）$\overrightarrow{PB}=（1，0，-1）$，$\overrightarrow{MG}=（\frac{1}{2}，0，-\frac{1}{2}）$，所以$\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{MG}$，
即PB∥MG，因此，PB∥平面MAC．…（4分）
（2）$\overrightarrow{PC}=（1，1，-1）$，$\overrightarrow{AM}=（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，
故$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AM}=0+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$，
所以PC⊥AM，又PC⊥EM，
所以 PC⊥平面AEM…（8分）
（3）由（2）知PC⊥AE，故MEA是二面角A-PC-D的平面角．
設(shè)E=（x，y，z），則$\overrightarrow{PF}=（x，y，z-1）$．因為$\overrightarrow{PE}=k\overrightarrow{PC}$，
所以（x，y，z-1）=k（1，1，-1），
即x=k，y=k，z=1-k．
所以$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AE}=（1，1，-1）•（k，k，1-k）=k+k-1+k=3k-1=0$，
所以k=$\frac{1}{3}$，點$E=（\frac{1}{3}，\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$．
又點$M=（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，所以$\overrightarrow{ME}=（-\frac{1}{3}，\frac{1}{6}，-\frac{1}{6}）$，$\overrightarrow{FE}$=（$-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$，-$\frac{1}{6}$），
故$cos∠MEA=\frac{{（-\frac{1}{3}，\frac{1}{6}，-\frac{1}{6}）•（-\frac{1}{3}，-\frac{1}{3}，-\frac{2}{3}）}}{{\frac{{\sqrt{6}}}{6}•\frac{{\sqrt{6}}}{3}}}=\frac{1}{2}$，
所以∠MEA=60°，即二面角A-PC-D的大小為60°…（12分）

點評 本題主要考查線面垂直和線面平行的判定定理以及空間二面角的求解，利用相應的性質(zhì)定理以及二面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．考查學生的運算和推理能力．