Question

18．如圖（1），在正方形SG₁G₂G₃中，E、F分別是G₁G₂、G₂G₃的中點，D是EF的中點，現(xiàn)沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個幾何體如圖（2），使G₁、G₂、G₃三點重合于點G．證明：
（1）G在平面SEF上的射影為△SEF的垂心；
（2）求二面角G-SE-F的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明G在平面SEF上的射影為△SEF的垂心；
（2）根據(jù)二面角平面角的定義作出二面角的平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系即可求二面角G-SE-F的正弦值．

解答 證明：（1）設(shè)G在平面SEF上的射影為點H，則GH⊥平面SEF．
∵折前SG₁⊥G₁E、SG₃⊥G₃F，
∴折后SG⊥GE、SG⊥GF，
∵GE∩GF=G，∴SG⊥平面GEF…（2分）
∵$\left.{\begin{array}{l}{SG⊥平面GEF}\\{EF?平面GEF}\end{array}}\right\}⇒SG⊥EF$，$\left.{\begin{array}{l}{GH⊥平面SEF}\\{EF?平面SEF}\end{array}}\right\}⇒GH⊥EF$，SG∩GH=G，
∴EF⊥平面SGH…（5分）
∵SH?平面SGH，∴EF⊥SH，同理，EH⊥SF，∴H為△SEF的垂心．…（6分）
（2）過G作GO⊥SE交SE于點O，連OH，
則∠GOH即為所求二面角G-SE-F的平面角．…（7分）
∵$\left.{\begin{array}{l}{GH⊥平面SEF}\\{SE?平面SEF}\end{array}}\right\}⇒GH⊥SE$，
又∵GO⊥SE，GH∩GO=G，
∴SE⊥平面GHO∵OH?平面GHO，
∴SE⊥OH，∴∠GOH為所求二面角G-SE-F的平面角．…（9分）
設(shè)正方形SG₁G₂G₃的邊長為1，
則在Rt△SEG中，$SG=1，GE=\frac{1}{2}，SE=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$∴$GO=\frac{SG•GE}{SE}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（10分）
又${V_{S-EFG}}={V_{G-SEF}}⇒GH=\frac{1}{3}$，
∴sin∠GOH=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，∴二面角G-SE-F的正弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．…（12分）

點評 本題主要考查線面垂直的性質(zhì)定理以及空間二面角的求解，利用相應(yīng)的性質(zhì)定理以及二面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運算和推理能力．