Question

15．已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a₁=2，且4S_n=a_n•a_n+1，數(shù)列{b_n}中，b₁=$\frac{1}{4}$，且b_n+1=$\frac{n_{n}}{（n+1）-_{n}}$，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{\frac{1}{3_{n}}+\frac{2}{3}}}$（n∈N^*），求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，且4S_n=a_n•a_n+1，可得4a₁=a₁•a₂，解得a₂．當(dāng)n≥2時(shí)，4a_n=4（S_n-S_n-1），a_n≠0，可得a_n+1-a_n-1=4，可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都成等差數(shù)列，公差為4，即可得出．
（2）b₁=$\frac{1}{4}$，且b_n+1=$\frac{n_{n}}{（n+1）-_{n}}$，n∈N^*．兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{_{n+1}}$=$\frac{n+1}{n_{n}}$-$\frac{1}{n}$，化為$\frac{1}{（n+1）_{n+1}}$-$\frac{1}{n_{n}}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}$，利用“裂項(xiàng)求和”可得b_n+1，可得b_n．c_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，再利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=2，且4S_n=a_n•a_n+1，
∴4a₁=a₁•a₂，解得a₂=4．
當(dāng)n≥2時(shí)，4a_n=4（S_n-S_n-1）=a_n•a_n+1-a_n-1a_n，a_n≠0，
可得a_n+1-a_n-1=4，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都成等差數(shù)列，公差為4，
∴a_n=a_2k-1=2+4（k-1）=4k-2=2n，
a_2k=4+4（k-1）=4k=2n，
∴a_n=2n．
（2）b₁=$\frac{1}{4}$，且b_n+1=$\frac{n_{n}}{（n+1）-_{n}}$，n∈N^*．
兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{_{n+1}}$=$\frac{n+1}{n_{n}}$-$\frac{1}{n}$，
化為$\frac{1}{（n+1）_{n+1}}$-$\frac{1}{n_{n}}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}$，
∴$\frac{1}{（n+1）_{n+1}}$-=$（\frac{1}{（n+1）_{n+1}}-\frac{1}{n_{n}}）$+$（\frac{1}{n_{n}}-\frac{1}{（n-1）_{n-1}}）$+…+$（\frac{1}{2_{2}}-\frac{1}{_{1}}）$+$\frac{1}{_{1}}$
=$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}）$+…+$（\frac{1}{2}-1）$+4
=$\frac{1}{n+1}$+3，
∴b_n+1=$\frac{1}{3n+4}$，可得b_n=$\frac{1}{3n+1}$．當(dāng)n=1時(shí)也成立．
∴c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{\frac{1}{3_{n}}+\frac{2}{3}}}$=$\frac{2n}{{2}^{\frac{3n+1+2}{3}}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．