Question

6．對(duì)于△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$）恒成立，則△OBC與△ABC的面積之比是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 可作出圖形，取AB中點(diǎn)D，AC中點(diǎn)E，并連接OD，OE，從而可以由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=λ（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）$得到$\overrightarrow{OD}=λ\overrightarrow{OE}$，從而得出D，O，E三點(diǎn)共線，從而有DE∥BC，且$DE=\frac{1}{2}BC$，這樣即可得到${S}_{△OAB}+{S}_{△OAC}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，從而便可得出△OBC與△ABC的面積的比值．

解答 解：如圖，

分別取AB、AC的中點(diǎn)D、E，連接OD，OE，則：
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OE}$；
∴由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=λ（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）$得，$2\overrightarrow{OD}=2λ\overrightarrow{OE}$；
∴$\overrightarrow{OD}=λ\overrightarrow{OE}$；
∴D，O，E三點(diǎn)共線；
∴DE∥BC，$DE=\frac{1}{2}BC$；
∴${S}_{△OAB}+{S}_{△OAC}=\frac{OD+OE}{BC}{S}_{△ABC}$
=$\frac{DE}{BC}{S}_{△ABC}$
=$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$；
∴${S}_{△OBC}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$；
∴△OBC與△ABC的面積之比是$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的平行四邊形法則，向量的數(shù)乘運(yùn)算，共線向量基本定理，以及三角形中位線的性質(zhì)，三角形的面積公式．